IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y son válidas para cualquier valor de la variable para el cual las funciones estén definidas. Son herramientas fundamentales en matemáticas, física e ingeniería, ya que permiten simplificar expresiones complejas, resolver ecuaciones y demostrar otras propiedades.

¿Qué son las Identidades Trigonométricas?

En esencia, una identidad trigonométrica es una igualdad que se mantiene verdadera sin importar los valores de las variables (siempre y cuando los argumentos de las funciones estén dentro de su dominio). A diferencia de las ecuaciones trigonométricas, que pueden tener soluciones específicas, las identidades son universalmente verdaderas.

Por ejemplo, la famosa identidad pitagórica, ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$, es válida para cualquier ángulo θ.

Tipos de Identidades Trigonométricas

Existen varios grupos de identidades trigonométricas, cada uno con sus propias aplicaciones:

• Identidades Recíprocas: Relacionan las funciones trigonométricas con sus inversas multiplicativas.

  • $\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )}$
  • $\sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}$
  • $\cot (\theta )=\frac{1}{\tan (\theta )}$

• Identidades de Cociente: Expresan la tangente y la cotangente en términos de seno y coseno.

  • $\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$
  • $\cot (\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$

• Identidades Pitagóricas: Derivadas del teorema de Pitágoras aplicado a un círculo unitario.

  • ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$
  • $1+{\tan }^2(\theta )={\sec }^2(\theta )$
  • $1+{\cot }^2(\theta )={\csc }^2(\theta )$

• Identidades de Suma y Resta de Ángulos: Permiten expandir las funciones trigonométricas de la suma o resta de dos ángulos.

  • $\sin (A\pm B)=\sin (A)\cos (B)\pm \cos (A)\sin (B)$
  • $\cos (A\pm B)=\cos (A)\cos (B)\mp \sin (A)\sin (B)$
  • $\tan (A\pm B)=\frac{\tan (A)\pm \tan (B)}{1\mp \tan (A)\tan (B)}$

• Identidades de Ángulo Doble: Expresan las funciones trigonométricas de un ángulo doble en términos de las funciones del ángulo original.

  • $\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$
  • $\cos (2\theta )={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )=2{\cos }^2(\theta )-1=1-2{\sin }^2(\theta )$
  • $\tan (2\theta )=\frac{2\tan (\theta )}{1-{\tan }^2(\theta )}$

• Identidades de Ángulo Medio: Permiten expresar las funciones trigonométricas de un ángulo medio.

  • $\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (\theta )}{2}}$
  • $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (\theta )}{2}}$
  • $\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{\sin (\theta )}=\frac{\sin (\theta )}{1+\cos (\theta )}$