RADICACION Y SUS PROPIEDADES

  RADICACION Y SUS PROPIEDADES

---

Informe sobre la Radicación y sus Propiedades

La radicación es una operación matemática inversa a la potenciación. Así como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación, la radicación nos permite encontrar la base de una potencia cuando conocemos el exponente y el resultado. Se representa con el símbolo de la raíz, ​.

En una expresión radical como $\sqrt[n]{x}=y$:

• El índice (n) indica la potencia a la que se elevó el número ($n\ge 2$). Si el índice no se escribe, se asume que es 2 (raíz cuadrada).
• El radicando (x) es el número al que se le calcula la raíz.
• La raíz (y) es el resultado de la operación, es decir, el número que elevado al índice n da como resultado el radicando x ($y^n=x$).

Por ejemplo, en $\sqrt[3]{8}=2$, el índice es 3, el radicando es 8 y la raíz es 2, ya que $2^3=8$.

---

Propiedades de la Radicación

La radicación posee varias propiedades que facilitan la simplificación y el cálculo de expresiones radicales. Estas propiedades son fundamentales para trabajar con raíces en álgebra y aritmética.

1. Raíz de un Producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de cada factor.

$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Ejemplo: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$. También, $\sqrt{36}=6$.

2. Raíz de un Cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, con $b\ne 0$.

Ejemplo: $\sqrt[3]{\frac{64}{8}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2$. También, $\sqrt[3]{8}=2$.

3. Raíz de una Raíz

Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices de las raíces y se mantiene el mismo radicando.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$

Ejemplo: $\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2\cdot 3]{64}=\sqrt[6]{64}=2$. Ya que $2^6=64$.

4. Potencia de una Raíz

La potencia de una raíz es igual a la raíz del radicando elevado a esa potencia. El exponente puede "entrar" o "salir" de la raíz.

$(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

Ejemplo: $(\sqrt[3]{8}{)}^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$. También, $(2{)}^2=4$.

5. Simplificación de Radicales (Exponente Fraccionario)

Todo radical puede expresarse como una potencia con un exponente fraccionario, donde el numerador es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz. Esta propiedad es crucial para simplificar expresiones.

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Ejemplo: $\sqrt[3]{x^6}=x^{\frac{6}{3}}=x^2$.

6. Raíz de un Número Negativo (Consideraciones)

• Si el índice es impar: La raíz de un número negativo es un número negativo. Ejemplo: $\sqrt[3]{-27}=-3$, ya que $(-3{)}^3=-27$.
• Si el índice es par: La raíz de un número negativo no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que ningún número real elevado a una potencia par da un resultado negativo. En este caso, la solución se encuentra en el conjunto de los números complejos. Ejemplo: −4​ no tiene solución real.