PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

Propiedades Fundamentales de la Potenciación

La potenciación es una operación matemática fundamental que simplifica la representación de la multiplicación repetida. Consiste en una base y un exponente, donde la base se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente. Para comprenderla a fondo y aplicarla eficientemente, es crucial conocer sus propiedades clave.

1. Producto de Potencias con la Misma Base

Cuando multiplicas potencias que tienen la misma base, mantienes la base y sumas los exponentes.

• Fórmula: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• Ejemplo: $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7=128$

2. Cociente de Potencias con la Misma Base

Al dividir potencias con la misma base, mantienes la base y restas los exponentes.

• Fórmula: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (donde $a\ne 0$)
• Ejemplo: $\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4=625$

3. Potencia de una Potencia

Cuando elevas una potencia a otro exponente, mantienes la base y multiplicas los exponentes.

• Fórmula: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$
• Ejemplo: $(3^2{)}^3=3^{2\cdot 3}=3^6=729$

4. Potencia de un Producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

• Fórmula: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$
• Ejemplo: $(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1000$

5. Potencia de un Cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y el denominador.

• Fórmula: $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ (donde $b\ne 0$)
• Ejemplo: $(\frac{4}{2}{)}^3=\frac{4^3}{2^3}=\frac{64}{8}=8$

6. Exponente Cero

Cualquier número (excepto el cero) elevado a la potencia de cero es igual a uno.

• Fórmula: $a^0=1$ (donde $a\ne 0$)
• Ejemplo: $10^0=1$, $(-7{)}^0=1$

7. Exponente Uno

Cualquier número elevado a la potencia de uno es igual a sí mismo.

• Fórmula: $a^1=a$
• Ejemplo: $15^1=15$

8. Exponente Negativo

Una base elevada a un exponente negativo es igual al recíproco de la base elevado al exponente positivo.

• Fórmula: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (donde $a\ne 0$)
• Ejemplo: $3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

Comprender y dominar estas propiedades es esencial para simplificar expresiones algebraicas, resolver ecuaciones y trabajar con números grandes o muy pequeños de manera más eficiente en diversas ramas de las matemáticas y las ciencias.